Anwendungen der Total-Least-Squares-Technik bei geodätischen by Stephan Kupferer

By Stephan Kupferer

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Maschinendynamik (German Edition)

Das Thema Maschinendynamik ist aktueller denn je: Dynamische Belastungen und störende Schwingungen (auch Schadensfälle) nehmen mit höheren Drehzahlen und weiterer Leichtbauweise zu, der Arbeitsschutz verlangt mehr Schwingungs- und Lärmbekämpfung und andererseits lassen sich dynamische Phänomene bei manchen Maschinen praktisch ausnutzen.

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Ur ]) N (C) = S([vr+1 , . . 43) T S(C ) = S([v1 , . . , vr ]) N (C T ) = S([ur+1 , . . 44) ζi ui viT ) i=1 Des Weiteren ergibt sich aus der SVD f¨ ur die 2-Norm und die Frobenius-Norm m C 2 F n c2i,j = ζ12 + . . 45) Cy 2 = max = ζ1 y=0 y 2 Bemerkung. Wie bereits erw¨ahnt wird m > n vorausgesetzt! Die Singul¨arwerte einer Matrix sind immer eindeutig. Die zugeh¨origen Singul¨arvektoren vj , j ≤ r sind nur dann eindeutig, wenn ein ζj2 einfacher Eigenwert von C T C ist. 42) die Vektoren uj , j ≤ r ebenfalls eindeutig festgelegt.

2) Die drei wichtigsten lp -Normen sind die F¨alle p = 1, 2, ∞. x 1 = |x1 | + . . + |xn | x 2 = |x1 |2 + . . 3) 1≤i≤n Die 1-Norm ergibt die Komponentenbetragsumme, die ∞-Norm den Maximalbetrag der Komponenten des Vektors x. Die 2-Norm ist bekannt als die euklidische L¨ange des Vektors x [5, Seite 60]. 4) Vor allem bei der teilweisen QR-Zerlegung im Verlauf der TLS-Berechnung mit fehlerfreien Spalten spielt diese Eigenschaft eine zentrale Rolle. 5) mit symmetrischer, positiv definiter Matrix M .

Im Allgemeinen sind u ¨berbestimmte Gleichungssysteme der Art Ax = b nicht direkt 16 l¨osbar, da b in den seltensten F¨allen im Spaltenraum von A liegt. Deshalb wird der Vektor b modifiziert, so dass das System l¨osbar wird. Da es unendlich viele M¨oglichkeiten gibt, dies zu tun, ist ein Kriterium f¨ ur die beste“ M¨oglichkeit ” notwendig. 21) zu minimieren. Die angegebene Funktion ist die 2-Norm oder Wurzel der Summe der Quadrate der Verbesserungen. (In anderen Wissenschaften wie den Wirtschaftswissenschaften wird die 2-Norm gerne durch die 1-Norm b − Ax 1 = m i=1 |(b−Ax)i | ersetzt.

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